Studierte bei Klaus Thunmann in Hannover Fagott und bei Volker Rohde an der Musikhochschule Leipzig Dirigieren. Nach Engagements als Solofagottist im Philharmonischen Orchester Dortmund und in der Badischen Staatskapelle wechselte er 1990 ans Solofagottpult im Sinfonieorchester des SWR. Heute ist er Professor an der Universität der Künste, Berlin.
1987 erhielt Hübner den Förderpreis des Deutschen Musikwettbewerbes und wurde in die Bundesauswahl "Podium junger Solisten" aufgenommen.
Eckart Hübner ist Mitglied des Albert-Schweitzer-Quintetts, welches – neben vielen anderen Auszeichnungen – Preisträger des ARD-Wettbewerbes (1985) ist. Die Gesamtaufnahme der Bläserquintette Anton Reichas (bei cpo) erhielt den Preis der deutschen Schallplattenkritik 1989.
Neben diesen Tätigkeiten arbeitet Eckart Hübner mit vielen anderen Kammerensembles und als Solist. Bei cpo erschienen u. a. Aufnahmen mit dem Nomos Quartett, den Fagottquartetten von Franz Krommer und Deviennes Fagottkonzerte mit dem Slowakischen Kammerorchester. Ferner die Erstaufnahme des Fagottkonzertes von Charles Koechlin mit dem SWR Sinfonieorchester, sowie die Fagottkonzerte Antonio Rosettis, wo Hübner neben dem Solopart auch das Dirigieren übernahm.
Von 1995-1997 führte Hübner die Fagottklasse an der Musikhochschule der Stadt Basel. 1997 wurde er von der Universität der Künste in Berlin zum Professor für Fagott und Ensemblearbeit berufen.
Seit 1990 Mitglied des SWR Sinfonieorchesters Baden-Baden und Freiburg, seit 2016 Mitglied des SWR Symphonieorchesters.